Ścieżkami Leonharda Eulera

15 kwietnia 1707 roku w Bazylei (Szwajcaria) przyszedł na świat Leonhard Euler — największy z matematyków zmierzchającej ery ludzi wszechstronnych, znających się na wszystkim. 355 lat wcześniej w tym samym dniu kwietnia urodził się w Vinci inny słynny uczony i artysta — Leonardo, który w symboliczny sposób rozpoczął epokę takich postaci. Można powiedzieć, że Leonhard Euler w równie symbolicznie tę epokę zakończył. Po nim przyszli inni wielcy i znakomici specjaliści w swoich dziedzinach, których nazwiska pamiętają prawie wyłącznie eksperci w dziedzinie historii nauki. Dyscypliny, w których specjalizowali się najwięksi uczeni wraz z biegiem stuleci stawiają coraz większe wymagania badaczom, którzy, aby tym wymaganiom sprostać, muszą skupiać się na coraz to węższych zakresach badań. Żeby znać się na czymś dogłębnie, trzeba ograniczyć pole widzenia do niezbędnego minimum. Za wyjątek od tej reguły można być może uznać rozdmuchany w gazetach spór Erwina Schrödingera i Alberta Einsteina, wielkich fizyków początku XX wieku, bezowocnie pretendujących na polach swoich specjalizacji do tytułu odkrywcy Teorii Wszystkiego.

Leonhard Euler na znaczku pocztowym z NRD

W umyśle Leonarda Eulera matematyka i fizyka mogły jeszcze funkcjonować na najwyższym poziomie. Uczony ten nie stronił też od architektury i sztuki, zajmowały go inżynieria i teoria muzyki, a także filozofia i religia. Nie dziwi więc, że jego podobiznę można znaleźć w wielu miejscach, na przykład na szwajcarskich banknotach i enerdowskich znaczkach pocztowych, nie dziwi, że upamiętniają go Berlin, Petersburg i Kaliningrad (Królewiec).

Leonhard Euler na obrazie Jakoba Handmanna

Leonhard Euler w wieku 46 lat na obrazie Jakoba Handmanna

W Petersburgu Euler spędził najlepsze lata swego naukowego życia, tam też zmarł w 1783 roku, ale pracował również dla króla Prus, Fryderyka. Podczas swego długoletniego pobytu w Berlinie udzielał prywatnych lekcji księżniczce Anhalt-Dessau, siostrzenicy króla. Jednym z owoców tych lekcji była książka zawierająca ponad 200 listów napisanych do pilnej arystokratki. Było to pierwsze w historii dzieło w przystępny sposób objaśniające najważniejsze pojęcia fizyki i matematyki. Euler był zatem pierwszym w dziejach popularyzatorem nauki, a przy tym autorem pierwszej bestsellerowej książki popularnonaukowej. Z tego powodu mógłby być dziś uważany za patrona współczesnych centrów nauki i techniki i być wzorem dla wielu ludzi w nich pracujących. O niesłychanej pracowitości Eulera świadczy liczba jego prac naukowych. Wiele z nich musiał dyktować, ponieważ utrata wzroku nie pozwoliła mu pisać. W sumie wydano ich 886. Spośród nich 356 ukazało się po śmierci autora.

Zdaniem zaczynającym się od słów „W Królewcu (w Prusach) jest wyspa zwana Kneiphof…” Leonhard Euler dał początek nowej dziedzinie matematyki, którą nazwano później teorią grafów. Pracę, z której pochodzi ten cytat wydano w roku 1741 pod tytułem „Solutio problematis ad geometriam situs partinetis”. Dotyczyła między innymi następującego zagadnienia:

Ponad rzeką Pregołą przepływającą przez Królewiec przerzucono 7 mostów, które łączą oba brzegi rzeki oraz dwie wyspy (rysunek). Pytanie brzmiało: czy można przejść przez wszystkie mosty Królewca, przechodząc każdym dokładnie raz?

Zagadla Eulera - mosty

Zadanie nie daje się rozwiązać metodą prób i błędów, co, jak wiemy, nie stanowi ostatecznego dowodu nieistnienia rozwiązania. Rewolucyjny pomysł Eulera, który pomógł uzasadnić narzucającą się hipotezę oraz rozwiązać wiele podobnych, lecz znacznie ciekawszych i ważniejszych problemów, był następujący. Przedstawmy sytuację opisaną w zadaniu za pomocą rysunku złożonego z kropek i kresek. Tak właśnie narodził się pierwszy graf. Do zadania o mostach wyglądał tak jak na rysunku:

Graf 1 do zadania o mostach

Liczby przy kropkach informują, ile linii spotyka się w każdej z kropek. Liczby te są nieparzyste. Analizując ten i podobne mu grafy, Euler odkrył, że przejście każdą krawędzią tylko raz będzie możliwe na przykład wtedy, gdy w każdej kropce (wierzchołku grafu) spotka się parzysta liczba linii (krawędzi grafu), wtedy zaś, gdy liczba krawędzi przy każdej kropce będzie nieparzysta, takie przejście będzie niemożliwe. Są także przypadki grafów, w których nieparzysta liczba krawędzi przy wierzchołkach nie przeszkadza w przejściu grafem zgodnie z regułą — każdą krawędzią tylko raz. Oto taki graf:

Graf Eulera

Jesteśmy już bardzo blisko powtórzenia odkrycia, którym Leonhard Euler dokonał milowego kroku w rozwoju matematyki i informatyki, a także przyczynił się do powstania topologii. Kontynuujmy zatem jego spacer, ale nie uliczkami i mostami Królewca, tylko ścieżkami i kładkami ekspozycji Centrum Nauki i Techniki EC1 w Łodzi — najlepszym terenem do takich badań, miejscem pełnym schodów, kładek i korytarzy prowadzących do pomieszczeń ekspozycyjnych. Poszukajmy tam dróg łączących wybrane punkty ekspozycji i, starając się nie zgubić, sprawdźmy, czy można je tak poprowadzić, by każdą przechodzić tylko raz.

Oto nasze zadanie: Na 3. poziomie CNiT EC1 mamy dwie kładki łączące klatkę schodową z nastawnią (punkt A z punktem B). Z nastawni (B) do kawiarenki © można przejść schodami na dwa sposoby. Z kawiarenki © do schodów głównych na poziomie 2. (E) można przejść dwiema drogami. Jedna z nich prowadzi przez zabytkowy turbozespół z 1930 roku (D). Punkty A i E łączy jedna trasa, którą pokonujemy schodami należącymi do pompowni. Czy można przejść wszystkimi opisanymi drogami, każdą pokonując dokładnie raz?

A oto graf ułatwiający rozwiązanie zadania i prowadzący do odkrycia słynnego twierdzenia o grafach jednobieżnych — odkrytego i udowodnionego przez wielkiego Szwajcara.

Graf do zadania o EC1

Leonhard Euler zauważyłby natychmiast, że graf, którym przedstawiliśmy całą treść naszego zadania, składa się z trzech wierzchołków o parzystej liczbie dróg, które się w nich spotykają (B, C, D) oraz dwóch wierzchołków o nieparzystej liczbie takich dróg (A i E). Grafy tego typu mają własność nazywaną jednobieżnością, a zatem nasze zadanie ma rozwiązanie. Uważny Czytelnik z łatwością je znajdzie oraz odpowie też przy okazji na pytanie: Czy należy zaczynać od wierzchołka z parzystą liczbą ścieżek, czy tego z nieparzystą? Warto też zapytać o liczbę rozwiązań naszego problemu. Można by ułożyć następne podobne zadania. Rozwiązując je nie tylko poznajemy ciekawe ścieżki CNiT, ale też rozwijamy naszą wyobraźnię przestrzenną oraz umiejętności poruszania się w coraz bardziej skomplikowanych labiryntach dróg i budowli, które nas otaczają.

Marek Pisarski