Dywany profesora Sierpińskiego

Wacław Sierpiński (1882-1969) urodził się 14 marca 1882. Gdyby Dzień liczby π obchodzono już wtedy (a nie od 1988 roku), sympatycy Profesora mieliby dodatkowy powód do świętowania Jego urodzin. My postanowiliśmy wykorzystać tegoroczny dzień π do przybliżenia dokonań Profesora.  

Wacław Sierpiński

Profesor Sierpiński był jednym z największych polskich matematyków, twórcą tak zwanej warszawskiej szkoły matematycznej, skupiającej najwybitniejszych specjalistów od analizy, logiki, teorii mnogości i topologii, którzy działali w naszym kraju w okresie międzywojennym (1915-1939). Sam Profesor specjalizował się w teorii zbiorów i topologii.

Szerokiej matematycznej społeczności Profesor Sierpiński kojarzy się przede wszystkim z… dywanami. Nie takimi, które układa się na podłodze, ale dywanami matematycznymi, które konstruuje się w pewien szczególny sposób.

Poniżej prezentujemy schemat tworzenia dywanów Sierpińskiego oraz dwa najbardziej znane:
Weźmy dwie figury: kwadrat i trójkąt równoboczny, i podzielmy każdą z nich na pewną liczbę jednakowych części: kwadrat – na 9 kwadratów, a trójkąt na 4 trójkąty równoboczne. Z każdej tak podzielonej figury usuńmy środkowy fragment. Pozostałe części ponownie podzielmy na jednakowe kawałki, z których usuniemy środkowy. Postępując tak bardzo długo, w nieskończoność, otrzymamy takie kształty:

Dywan Sierpińskiego w 5 fazie

Kwadratowy dywan Sierpińskiego w piątej fazie

 

Trójkątny dywan Sierpińskiego w 5 fazie

 

Trójkątny dywan Sierpińskiego w piątej fazie

 

Topologowie zastanawiali się, co powstało w wyniku tej niekończącej się procedury.

Łatwo dojść do wniosku, że nie zostanie wiele: powstają figury, które mają pole powierzchni równe zero. Ale przecież te figury wciąż składają się z jakichś punktów - nie usuniemy na przykład punktów leżących na brzegach. Czy punkty te jednak tworzą nieprzecinająca się krzywą, którą można narysować nie odrywając ołówka od kartki? Warto spróbować to zrobić.

Po wielu latach figury otrzymywane w podobny sposób, lub wyglądające tak, że ich małe fragmenty są pomniejszonymi kopiami większych, nazwano fraktalami. Dywany Sierpińskiego nie były pierwszymi fraktalami w historii. Wcześniej konstruowali je inni matematycy, na przykład: Cantor, Peano, Koch. Uważa się także, że pierwszym matematykiem, który narysował dywan Sierpińskiego był Stefan Mazurkiewicz.

Za twórcę pojęcia fraktal i pierwszego twórcę najciekawszych fraktali uznaje się matematyka Benoita Mandelbrota (1924-2010).

 

Zbiór Mandelbrota (fraktal)

Najbardziej chyba znany fraktal – zbiór Mandelbrota

 

Powiększony fragment zbioru Mandelbrota

Powiększony fragment zbioru Mandelbrota – dostrzegamy
podobieństwo mniejszych fragmentów do całości figury.

 

W przyrodzie także można spotkać wiele modeli fraktali. Są nimi, między innymi, rozłożyste korony drzew, płatki śniegu, systemy wodne.

 

Kalafior rzymski

Kalafior rzymski. Także w naszym, polskim kalafiorze
można dopatrzeć się budowy charakterystycznej dla fraktali.

 

Fraktalami zajmują się nie tylko matematycy. Znajdują one zastosowanie w grafice komputerowej oraz w opisach złożonych obiektów i zjawisk o cechach porównywalnych z cechami fraktala (podobieństwo części do całości).

 

Czworościan Sierpińskiego

Czworościan Sierpińskiego. Przestrzenny odpowiednik trójkątnego dywanu.

Objętość tej figury wynosi 0. Poszczególne kroki konstrukcji polegają na usuwaniu z kolejnych czworościanów foremnych ośmiościanów tak, żeby pozostały tylko cztery narożne czworościany.

Marek Pisarski